Elementos

Introducción

Cinemática es un vocablo que deriva de la palabra griega kynema, que significa movimiento.

En la ciencia Física, es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin importar las causas que provocan las variaciones del mismo.

Al analizar por ejemplo, el movimiento de una vara lanzada hacia arriba, observamos que además de ascender y descender, la vara va girando sobre si misma.

Podremos describir como se mueve este cuerpo, si somos capaces de describir el movimiento de cada una de sus partes. Para esto, dividimos al cuerpo de forma que el tamaño de cada parte, sea despreciable en la escala que estamos empleando para medir las longitudes y, a cada una de estas partes, le llamamos cuerpo puntual.

Al estudio del movimiento de los cuerpos puntuales, se le llama cinemática del punto.

Posición

Comenzaremos abordando el estudio de la cinemática del punto, contestando la pregunta: ¿cuándo decimos que un cuerpo puntual se mueve?. La respuesta en el lenguaje corriente es: cuando va de un lugar a otro.

En Física, al “lugar” se le llama posición. Por lo tanto, podemos decir que un cuerpo puntual se mueve, cuando cambia su posición.

La pregunta que debemos realizarnos es: ¿mi posición está cambiando ahora?. Y, tras pensar un cierto tiempo, nos contestamos que no me muevo porque mi posición respecto a mi asiento no cambia; pero me muevo porque mi posición, por ejemplo, con respecto al sol está cambiando.

Observamos que la pregunta carece de sentido, si no especificamos respecto a que cuerpo deseamos saber si estamos en movimiento o no. A dicho cuerpo, le llamamos referente o sistema referencial.

El espacio que percibimos sensorialmente es tridimensional. Debido a esto, convenimos por simplicidad en tomar como sistema referencial, tres ejes ortogonales  (perpendiculares) que se cortan en un mismo punto, como se representa en la Fig. 1, indicando con puntas de flechas los semi-ejes positivos y asignándoles nombres a cada uno de ellos.

La posición de un cuerpo puntual respecto al sistema referencial (x; y; z), queda entonces determinada, por la distancia, en cada uno de los ejes, entre el  origen “O” y la proyección del punto en cada uno de los mismos, como se representa en la Figura 2.

A la distancia Oa, se le llama coordenada x; a la distancia Ob, se le llama coordenada y, en forma análoga a la distancia Oc se le llama coordenada z.

Estos tres de números con signo y unidad, que son las coordenadas, definen la posición del cuerpo.

Podemos decir ahora que un cuerpo se mueve cuando cambia por lo menos una de sus coordenadas.

Para comparar el movimiento de dos cuerpos, definiremos a continuación, un conjunto de características, que nos permitirán saber si los mismos se mueven de igual manera o no.

Trayectoria y distancia recorrida

 La trayectoria, es la curva definida por la sucesión de posiciones que adopta el cuerpo en el transcurso del tiempo.

En la figura 3, se muestra en rojo la trayectoria de un móvil en la que se ha  representando la posición del mismo en dos instantes de tiempo que llamamos t_i y t_f.

Si tomamos arbitrariamente un punto de la trayectoria como origen de referencia, que en la fig. 3 representamos en azul , la longitud del arco comprendido entre el origen y la posición del móvil en un cierto instante de tiempo, la llamamos abscisa curvilínea (del latín abscissa, cortada) y la representamos por la letra “s”.

Este concepto, se emplea corrientemente cuando viajamos por una carretera. La abscisa curvilínea está indicada en los mojones al costado de la misma.

Supongamos que viajamos desde el kilómetro 38 al kilómetro 40 sin cambiar el sentido de nuestro movimiento. La distancia que recorrimos es la diferencia de lectura en los mojones. En cambio si partimos del kilómetro 38 y viajamos hasta el kilómetro 50 para luego retroceder al 40, la distancia recorrida no es la diferencia de lectura inicial y final en los mojones que en este caso es:

Ds = 40 km - 38 km  = 2 km

es:

distancia recorrida = (50 - 38) km + (50 - 40) km = 22 km

lo podemos expresar en forma algebraica de la siguiente manera:

donde s₂ - s₁ es la variación de abscisa curvilínea inicial (Ds_i )hasta invertirse el sentido del movimiento y s₂ - s₃ es el incremento final de abscisa curvilínea (Ds_f ) sin considerar su signo, o sea es su valor absoluto. En forma general escribimos:

Cada uno de los términos que figuran en el miembro de la derecha de la ecuación anterior, es el módulo de la variación de la abscisa curvilínea que experimenta el móvil hasta la inversión del sentido del movimiento.

En la figura 3, la abscisa curvilínea del móvil en el instante t_i es s_i y en el instante t_f es s_f. El incremento de abscisa curvilínea en este intervalo de tiempo es s_f - s_i o sea Ds mientras que la distancia recorrida es |Ds|.

Observe que en este ejemplo, Ds es positivo porque el móvil se aleja del origen tomado arbitrariamente. Si el cuerpo se acerca al origen, s_f es menor que s_i y Ds sería negativo.

Rapidez

 Un concepto que manejamos en la vida cotidiana, es el de moverse más o menos rápido y, cuanto más rápido nos movemos, más distancia recorremos en un mismo intervalo de tiempo, o menos tiempo empleamos en recorrer cierta distancia. Por lo tanto, es que se define la rapidez como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado.

La rapidez definida de esta manera, se le llama rapidez media.

La expresión matemática para la rapidez media es la siguiente:

Pero este concepto no nos ofrece información, de cuan rápidamente se mueve el cuerpo durante el intervalo de tiempo en que fue determinada.

Por ejemplo: dos automovilistas pueden viajar de una ciudad a otra por la misma carretera empleando el mismo tiempo. Como los dos recorrieron la misma distancia demorando el mismo tiempo, la rapidez media dará el mismo valor. Pero, mientras uno de ellos viajó con la misma rapidez todo el tiempo, el otro se detuvo a cargar combustible viajando luego más rápidamente para compensar el tiempo perdido.

Por lo antes mencionado, es que se define la rapidez instantánea como el valor al cual tiende la rapidez media, cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Cuando decimos que una magnitud tiende a cero, no significa que la misma valga cero, sino que su variación no es detectable con el instrumento que estamos empleando para medirla. Y si mi instrumento no detecta variación, digo que la variación es cero. 

No olvidemos que la Física es una ciencia experimental y que los valores los obtenemos midiendo.

La expresión matemática de la rapidez instantánea es:

En un intervalo de tiempo que tiende a cero, la distancia recorrida es el módulo de la variación de abscisa curvilínea porque el móvil no cambia el sentido del movimiento en un instante. Antes debe detenerse.

Por lo antes mencionado, podemos escribir la rapidez instantánea de la siguiente manera:

 Para determinar este límite, debemos primero  determinar la rapidez media y analizar a que tiende este valor, cuando el tiempo tiende a cero. Esto lo resolveremos, si conocemos la abscisa curvilínea del móvil, en los instantes próximos al que deseamos determinar la rapidez instantánea.

Graficamos la abscisa curvilínea en función del tiempo, como mostramos en la figura 4, en color negro.

Ubicamos en nuestro gráfico, el instante de tiempo en el que deseamos calcular la rapidez instantánea. A este instante lo llamamos t^*, y vemos que le corresponde el punto “A” de nuestro gráfico. Elegimos otro instante posterior y medible de acuerdo al reloj empleado, y lo llamamos t*+Dt, viendo que le corresponde el punto B.

Observamos que en el intervalo de tiempo considerado, la abscisa curvilínea varió de s₁ a s₂.

Esta variación que llamamos Ds, es un incremento de ordenada, y Dt su correspondiente incremento de abscisa. Este incremento de ordenada, dividido su correspondiente incremento de abscisa, nos da la pendiente de la recta definida por los puntos “A” y “B”, que por definición, es la rapidez media en este intervalo de tiempo.

Esta recta corta a la curva en los puntos “A” y “B”. Por lo tanto, desde el punto de vista geométrico, es una recta secante a la curva (color rojo continuo).

Observamos también, que al hacer tender a cero a Dt, el punto “B” estará más cerca del punto “A”, y en este caso, la pendiente de la recta aumenta como se representa con las líneas punteadas rojas. En el caso límite, el punto “B” y “A” se confunden en un mismo punto. Y como a la recta que toca a la curva en un solo punto, se le llama recta tangente geométrica, concluimos que la rapidez instantánea de un cuerpo, en un instante cualquiera t^*, es la pendiente de la recta tangente geométrica a la curva abscisa curvilínea, en función del tiempo. Esta recta tangente, la representamos en la figura 4, en color azul.

Desplazamiento

Corrientemente, cuando un cuerpo ha cambiado su posición, decimos que se ha desplazado, indicando desde donde hacia donde lo ha realizado. Esto implica una dirección y un sentido, además de la cantidad de cuanto se ha desplazado y por estas razones, el desplazamiento es un vector.

Definimos entonces el vector desplazamiento, como el vector que tiene como origen la posición inicial, y como extremo la posición final (vector rojo en la Fig. 5) siendo su módulo, la distancia entre las posiciones.

Empleando el álgebra vectorial , podemos escribir:

Esta es otra forma de definir al vector desplazamiento, donde los vectores r, corresponden a los vectores posición respecto al sistema referencial elegido.  

Observaciones:

·     al elegir otro sistema de referencia fijo al anterior, cambian los vectores posición, siendo invariante el vector desplazamiento.

·     el módulo del vector desplazamiento, es generalmente menor a la distancia recorrida, siendo iguales en el caso de trayectoria rectilínea.

Velocidad

 La definimos la velocidad media, como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo empleado en realizar dicho desplazamiento.

 De acuerdo a esta definición, el vector velocidad tendrá siempre igual dirección y sentido que el vector desplazamiento.

Consideremos el caso de un cuerpo que realiza cierto recorrido, volviendo el punto de partida. En este caso el desplazamiento es cero, y la velocidad media, de acuerdo a la definición, es cero. Esto quiere decir que tenemos un cuerpo que se está moviendo y su velocidad media es nula.

Por lo antes dicho, esta definición tiene el inconveniente de no dar una idea clara de si el cuerpo se está moviendo o no, ni cuán rápidamente lo está haciendo.

Además vimos en el parágrafo anterior, que salvo que la trayectoria sea recta, el módulo del vector desplazamiento, es menor a la distancia recorrida. Por lo tanto, el módulo de la velocidad media, generalmente es menor que la rapidez media.

La velocidad media, solamente nos informa con que dirección y sentido debió moverse el cuerpo con rapidez constante igual al módulo de la velocidad, para experimentar el cambio de posición detectado en el tiempo medido.

En forma semejante a la rapidez instantánea, se define la velocidad instantánea como la velocidad media determinada en un instante, mediante un pasaje a límite.

Definimos la velocidad instantánea:

Para determinar este límite, primero consideramos un Dt cualquiera y determinamos el vector desplazamiento en este intervalo de tiempo dibujado con rojo  en la figura 6.

Observamos que si hacemos tender a cero el intervalo de tiempo Dt, el punto “B” estará más cerca del punto “A”, y al vector desplazamiento, le disminuye su módulo mientras cambia su dirección, como representamos con flechas rojas punteadas en la figura 6.

En el caso límite, el vector desplazamiento adopta la dirección tangente a la trayectoria. Por esta razón, el vector velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

El módulo de la velocidad instantánea que es su valor absoluto lo calculamos de la siguiente manera:

y,

podemos escribir

vemos entonces, que el módulo de la velocidad instantánea, es igual al valor absoluto de  la rapidez instantánea. Recuerde que la rapidez instantánea tiene un signo asociado que no tiene que ver con el signo que le podemos asociar al vector velocidad instantánea.

Podemos concluir ahora que este conjunto de características son suficientes, para poder decidir si dos cuerpos se movieron de igual manera.

Decimos que dos cuerpos que se movieron por la misma trayectoria, lo hicieron de igual manera, si para cada posición que adoptaron los móviles, los vectores velocidad instantánea, eran iguales.

Pero la Física, como las demás ciencias, no se conforma con describir los sistemas y clasificarlos. Pretende poder predecir el futuro cercano de los mismos.

Esto quiere decir que si conocemos la posición y velocidad de un móvil en un instante de tiempo, podemos desear conocer la posición y velocidad un instante después.

Para esto, es necesario que sepamos si la velocidad es constante o no, y si no lo es, cuán rápidamente está cambiando. Por esta razón es que definimos la rapidez de cambio de la velocidad, a la que le llamamos aceleración.