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Problemas |
Introducción
Cuando en un alambre o una cuerda sujeta en ambos extremos, se realiza en uno de ellos en forma continuada y uniforme movimientos ascendentes y descendentes, provocan a lo largo de la misma la propagación de pulsos de onda en forma continua como se ve en la figura.
Este conjunto ininterrumpido de pulsos de onda, constituyen un tren de onda.
Vamos admitir que en la propagación de las ondas, no se deforman, aunque en realidad es esto cierto solo para las ondas electromagnéticas.
Aceptado el concepto de la no dispersión de los pulsos que constituyen las ondas, vamos a estudiar solo las ondas que pueden ser descriptas matemáticamente por medio de las funciones seno y coseno.
Cualquier tipo de onda, puede ser considerada como la suma de infinitas ondas armónicas.
Precisamente por medio del teorema de Fourier, se pueden obtener expresiones de funciones complejas de cualquier tipo por medio de la suma de infinitas funciones armónicas.
Las ondas, en general pueden tener una forma cualquiera, pero todas estas formas complejas, están formadas por una serie de ondas senoidales con longitudes y fases apropiadas, de modo que su superposición, nos da una onda de características especiales.
Un caso particular como puede ser la onda cuadrada, puede obtenerse por la suma de frecuencias armónicas impares.
Es fácil de comprobar que la superposición de ondas de frecuencia f0, 3f0, 5f0, etc y cuyas amplitudes sean A0, A0/3, A0/5, etc. dan por resultado una onda cuadrada, debiendo además existir una adecuada relación entre las fases para obtener el resultado previsto.
Al valor " f0 " se le llama frecuencia fundamental y la " nf0 " es el armónico de orden "n", siendo " n " un número entero.
En la figura que sigue vemos como nos vamos aproximando a la obtención de una onda cuadrada mediante la suma de armónicos de orden impar.
En la figura vemos las siguientes ondas
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Onda fundamental identificada con n = 1 color azul Tercer armónico identificado con n = 3 color violeta Quinto armónico identificado con n = 5 color amarillo Onda suma de las tres ondas n = 1+3+5 identificada con el color rojo En color gris se plantea la forma cuadrada a la que se va aproximando la suma de ondas armónicas. |
Del punto de vista matemático, a través del análisis llamado de Fourier, podemos analizar la combinación necesaria de funciones seno y coseno para obtener una onda de cualquier tipo. Según el teorema de Fourier cualquier función puede ser representada con la exactitud deseada mediante la suma de funciones seno y coseno.
Ondas armónicas en una dimensión
Si el tipo de función de onda es una función seno o coseno, la onda que da lugar se denomina onda armónica.
y = f(x,t) = A . sen qk(x - v.t)r es una expresión tipo de onda armónica. Al valor A se le denomina amplitud y corresponde al máximo valor de la ordenada, donde k es una constante que permite adecuar la medida de longitud a una medida angular.
Podemos
obtener otra forma de expresión de la función de onda aplicando la propiedad
distributiva y nos queda que 
donde el valor w
se le denomina frecuencia angular
(w = kv).
Una propiedad muy importante de las ondas armónicas, es que son monótonas y no experimentan ningún cambio en su forma.
Estas ondas tienen una velocidad de propagación constante.
La función de la onda armónica es de dos variables, y = f(x,t). Si mantenemos constante la variable "x", esta función determina la elongación del punto de coordenada "x" en función del tiempo. En cambio si mantenemos constante la variable "t", obtenemos la elongación de cada punto del medio en dicho instante visualizando la forma del medio.
Longitud de onda y frecuencia
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La longitud de onda que representamos por l (de una onda armónica) es la distancia que existe entre dos crestas sucesivas (distancia entre dos pulsos sucesivos). Como la
función es de dos variables, vamos a suponer que el tiempo t permanece
constante y vale t0 para este caso tendremos que |
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Por
lo tanto nos quedaría que 
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Si asumimos
que las abscisas de dos crestas consecutivas son x1 y x2
su diferencia no será ni más ni menos que la longitud de onda l
por lo que
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Si tomamos n = 1 tendremos la condición que correspondería a crestas consecutivas por lo que
y como
tendremos
que
donde se
vincula la longitud de onda con el número de
onda resulta las siguientes relaciones
De aquí podemos deducir que
k (número de onda) es 2p
veces el número de longitudes de onda por unidad de
longitud. Por
ejemplo si l = 0,1
m tendremos que
y precisamente 10 es la cantidad de longitudes de onda que ocupan una longitud
de 1 m.
Observemos la forma que varía la posición de un punto de la onda en el transcurso del tiempo. Para esto dejaremos variar libremente el tiempo manteniendo el valor de x = xo constante. La función tomará ahora la forma
pero podemos realizar las siguientes igualdades sabiendo que
obtendremos
que
y = A . sen (kxo-wt) = -
A . sen (wt-kxo)
pero
además como
tenemos que
- A . sen (wt-kxo) = A . sen (wt-kxo +p)
por lo que
y = A . sen (wt - d1) siendo d1 = (kxo-p)
De lo expresado se concluye que el movimiento de cada una de las partículas que forman la onda realizan un Movimiento Armónico Simple en la dirección perpendicular al desplazamiento de la onda transversal.
Además
conocemos que
y que 
que corresponden a las definiciones de frecuencia y período del movimiento
armónico simple.
La velocidad de propagación es el cociente entre el desplazamiento que experimenta la onda y el tiempo insumido.
Considerando un desplazamiento igual a la longitud de onda, el tiempo insumido es el período y podemos expresar a la velocidad de la siguiente manera
Otra forma de expresar la función de onda es sustituyendo el valor de "k" por su relación con "l" y tendremos que si tomamos d = 0
y como
que es otra forma de la función de onda armónica.
Energía asociada a un punto de la onda
Como ya se vio, el movimiento ondulatorio trasmite una perturbación de un punto a otro (energía) sin transporte neto de materia.
En particular si consideramos ondas armónicas, cada partícula del medio describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) y la energía máxima de esa partícula será
En consecuencia la energía
transportada es función de
(cuadrado
de la frecuencia) y de
(cuadrado
de la amplitud)
La rapidez con que esta
energía se trasmite se mide por la llamada
intensidad de onda "I"
y que en el Sistema Internacional (SI), tiene como unidad el
w/m2
(watt por metro cuadrado) por lo que de acuerdo a lo visto
.
Debilitamiento de una onda
En la propagación, una onda se va debilitando a medida que se aleja de la fuente generadora, en consecuencia esa pérdida de intensidad dará lugar a una disminución de la amplitud de la onda.
Este debilitamiento puede ser atribuido a la propiedad del medio que transforma la energía mecánica en calor que se disipa. A este fenómeno se llama atenuación.
Superposición e Interferencia de ondas armónicas
Según el Principio de Superposición " cuando se propagan dos o más ondas por un medio, la perturbación resultante en cada punto del medio es igual a la suma algebraica de las perturbaciones que producirían cada una de las ondas por separado".
| Caso 1 |
Superposición de ondas armónicas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda moviéndose en la misma dirección con diferencia de fase inicial. |
El resultado de ondas armónicas de la misma frecuencia y longitud de onda, lo que varía es la fase y la amplitud de la onda resultante dependiendo de la diferencia de fase entre las ondas que la componen.
onda armónica 1
onda armónica 2
el valor de d es precisamente la diferencia de fase que existe en este caso entre las ondas.
La onda suma será
realizando el siguiente cambio de variable
nos queda
y aplicando la expresión trigonométrica correspondiente a la suma de seno de ángulos nos queda que
En
esta expresión reconocemos como amplitud resultante de las suma de ondas el
valor 
se puede además observar que la frecuencia es la misma así como la longitud
de onda y solamente difiere con las ondas originales en que la fase de la suma
es
En el gráfico se observa la suma de las ondas " y1 " e " y2 " ambas tienen un desfasaje de 90º y, se observa que la onda color naranja presenta un desfasaje de 45º como demostraremos.
Si el valor de d que es la diferencia de fase entre las ondas que se superponen es 0, entonces en el cálculo de la amplitud obtendríamos que ySUMA= 2 A dado que el valor del cos 0 = 1.
Si el valor de d es p, entonces las ondas estarán en contrafase. La interferencia para d = 0 es perfectamente constructiva y para d = p, la interferencia será perfectamente destructiva dado que ySUMA= 2 A cos 1/2(p) = 0
La diferencia de fase en ondas armónicas como las que vimos, se justifica por la diferencia de caminos que existe en el recorrido de cada onda que se va a superponer.
Si d
= 2p corresponde a una diferencia de caminos de una longitud de onda
por lo que el ángulo de desfasaje en función del recorrido está dado por la
relación que existe entre la diferencia de caminos y la longitud de onda. Por
lo tanto
. Si
entonces la diferencia de camino será una longitud de onda y
d
= 2p y se produce una interferencia perfectamente constructiva.
Si 
entonces
y se
producirá una interferencia perfectamente destructiva.
| Caso 2 |
Superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia casi iguales. |
Supongamos dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes y de amplitudes iguales, que se mueven en la misma dirección partiendo de un mismo punto, estando en fase para x = 0 y t = 0.
Sean sus expresiones y1 = A . cos (k1.x - w1.t)
y2 = A . cos (k2.x - w2.t)
donde sabemos que el valor de k = 2.p/l y w = 2.p.f La suma de ambas, podremos realizarla gráficamente o por medio de la relación trigonométrica de la suma de cosenos.
En la figura, se observa precisamente el caso de dos ondas con la misma amplitud y frecuencias de onda muy próximas que se grafican en rojo y negro en el diagrama superior y su suma en azul en el diagrama inferior.
A cierta distancia del origen, las ondas se desfasan 180º (p radianes) y posteriormente a una distancia doble vuelven a estar en fase y así sucesivamente.
Precisamente para el valor x = a, se produce una suma de las ondas que da una amplitud resultante nula, pues es donde se encuentran desfasadas 180º.
Cuando x = 2a, tendremos una coincidencia de los picos de las ondas de máxima amplitud, y allí aparecerá la amplitud máxima en la onda suma, pues las ondas sumadas están en fase.
Para x = 3a nuevamente la amplitud resultante o suma de ambas ondas es nula, pues vuelven a estar desfasadas 180º.
Cuanto mayor es la diferencia de frecuencias, más rápidamente se desfasan llegando a la interferencia constructiva.
Usando la relación de suma de cosenos de ángulos
donde tendríamos que si
la expresión de y nos quedaría
llamando
Dk a
k2-k1 y Dw a w2-w1
y
la
expresión de y resulta
como
se estableció previamente, las frecuencia son muy parecidas y por lo tanto
sus longitudes de onda también, entonces los valores de Dk
y Dw
son muy pequeños y los valores de
son
prácticamente iguales a la frecuencia y número de onda de una de las ondas
primitivas..
Por
lo tanto el resultado es una onda de aproximadamente la misma longitud y
frecuencia de las ondas originales, pero su amplitud se encuentra
modulada por el factor
Velocidad de fase y de grupo
En
cuanto a la velocidad de la onda resultante
que
es prácticamente igual a la de las ondas que se superponen. A esta velocidad
se le denomina velocidad de fase.
La envolvente de esta onda suma tiene un número de onda 1/2Dk y una frecuencia angular de 1/2Dw.
La velocidad de la onda envolvente la podremos calcular a partir de la expresión del factor que modula la amplitud de esta onda y obtendremos extrayendo que Dk de factor común que
por
lo que
corresponde a la velocidad de la envolvente llamada normalmente velocidad
de grupo.
La relación entre ambas velocidades depende del medio por el cual se propagan. En un medio donde la velocidad de fase no depende de la frecuencia de la onda, ambas velocidades serán iguales y el medio por el cual se propagan se denomina medio sin dispersión.
Ondas de este tipo son las ondas que se propagan por el aire (ondas sonoras), o las ondas luminosas que se propagan en el vacío así como las ondas que se propagan en una cuerda perfectamente elástica.
En cambio cuando la frecuencia depende del medio, como el caso de ondas en el agua, ondas en una cuerda no perfectamente flexible, las velocidades serán diferentes y el medio será dispersivo.
Suma fasorial de ondas armónicas
Se puede resolver la suma de ondas armónicas de la misma frecuencia, mediante representación fasorial de las mismas.
Para ello vamos a sumar las ondas y1 = yA . sen (kx - wt) e y2 = yB . sen (kx - wt + d)
Para obtener analíticamente las suma de ambas funciones ya vimos el procedimiento anterior en interferencia de ondas.
Las sumas de estos fasores, geométricamente hablando, se deben realizar para un caso puntual, es decir para valores determinados de x y t.
Por lo tanto si estos valores son constantes, las expresión kx - wt toman un valor constante que llamaremos a.
Por lo tanto las ondas a sumar quedan expresadas como y1 = yA . sen a e y2 = yB . sen (a + d)
Si suponemos que la amplitud yA forma un ángulo a con el eje de las x tendremos que la expresión yA . sen a representa la componente sobre el eje y de yA o sea y1.
Por igual razonamiento tendremos que la amplitud yB forma un ángulo a + d por lo que yB . sen (a + d) representa la componente sobre el eje de las y de yB o sea y2.
Como se puede observar en el dibujo adjunto la onda resultante o suma está dada por la expresión ysuma = yC . sen (a+d') en la misma vemos que el valor yC corresponde a la amplitud de la onda resultante y d' corresponde a la diferencia de fase entre la onda resultante y la onda yA.
Podemos ver además que la expresión que relaciona las amplitudes de la tres ondas es
Ahora supongamos que hacemos variar el tiempo t por lo que el valor del ángulo a varía, permaneciendo el ángulo de fase d constante.
